Иванов-Петров Александр (ivanov_petrov) wrote,
Иванов-Петров Александр
ivanov_petrov

Математика становится машиной по производству открытий

...Там, где кричат, там истинной науки нет, ибо истина имеет одно-единственное решение, и, когда оно оглашено, спор прекращается навсегда.
Леонардо да Винчи

http://kosilova.textdriven.com/narod/studia/pdf/collins/collins1.pdf
http://www.top-kniga.ru/kv/shareteka/detail.php?ID=15279&ID_CONTENT=1
Сначала речь о науке как о технике быстрых открытий - многовековые споры, не приводящие к согласию, сменяются быстрыми открытиями, которые вызывают консенсус. Этим сообщество ученых отличается от философов. Откуда берется эта возможность делать "быстрые открытия"? приводится несколько причин, и одна из них - новая математика.
Р.Коллинз
"Существует альтернативный путь к науке быстрых открытий. Еще одним ключом к научной революции было не лабораторное оборудование, а математика. Коперник опроверг геоцентрическую астрономию не с помощью новых наблюдений, а через математическое упрощение уже имевшихся данных. Эти два пути могут совпадать, во многих аспектах научная революция 1600-х и 1700-х годов была осуществлена не только с помощью эксперимента, но также через установление количественных принципов для получаемых результатов. Однако эти два пути не являются идентичными. Математическая революция опередила взлет естествознания на два или три поколения. Быстрый рост количества математиков, заслуживающих упоминания, начался в Европе в 1490-х годах [8], а первые выдающиеся достижения появились примерно в 1520–1550 гг., когда Ферро, Кардан и Тарталья стали находить общие решения алгебраических уравнений высокого порядка, что привело к открытию Виетом новых областей математического исследования.

Согласно хорошо знакомой аргументации, математизация мировоззрения привела к созданию науки Нового времени. Трудность состоит в том, что традиционное математическое естествознание, например астрономия у греков, китайцев или индусов, не обладает свойствами достижения консенсуса и получения быстрых открытий, являющимися центральными для науки Нового времени. Самой по себе математики недостаточно для появления науки, в которой достигается консенсус и которая быстро продвигается, – это обеспечивает только некий особый вид математики.

Какого же типа может быть эта математика? Математическая революция разворачивается тогда, когда сама математика становится исследовательской технологией. Иначе говоря, технология является набором воплощенных практик, обеспечивающих достоверные и проверяемые результаты. Такие способы деятельности (математические «техники»), хотя они и не предполагают применения сложных физических приборов, тем не менее, вполне материальны, — они состоят из методов написания уравнений на восковой дощечке или бумаге, а также, возможно, перестановки палочек на счетной доске, что соответствует процедурам передвижения символов из одного места в другое вплоть до получения определенных результатов. Вопреки платонистским идеологиям, математика не существует исключительно в разуме, а представляет собой набор практик, развитых благодаря поколениям переделок и усовершенствований, причем неотъемлемой частью этих практик является физическое «оборудование», с которым они взаимосвязаны. Это не так далеко от нашего неявно подразумеваемого определения машины как материальной целостности, поскольку каждая машина состоит из сочетания физического объекта и умения обращаться с ним. Ряды математических символов на бумаге, выстроенные в линии уравнений и перестраиваемые согласно правилам, представляют собой скорее некую практическую деятельность, чем просто набор абстрактных идей.

Превращение математики в машину по решению задач состояло не только в появлении новой системы обозначений (нотации), хотя символизм действительно появился в период математической революции. Прежде уже были эпизоды введения своего рода алгебры в виде сокращений, или аббревиатур (Диофант – ок. 250 г. н.э., Брахмагупта – ок. 630 г. н.э.), но эти способы не были последовательно развиты и в китайской, греческой и мусульманской математике применялись словесные доказательства с привлечением геометрических чертежей. В мире средневекового христианства математика Фибоначчи (ок. 1200 г.) была риторической. Таковы же были трудные и запутанные доказательства Свайнсхеда-«Вычислителя», равно как и попытки математических обобщений у Региомонтануса, осуществлявшиеся в середине 1400-х годов. В начале 1500-х годов сокращенные формы появлялись в арифметике и алгебре, особенно у «мастеров счета» в торговых германских городах, а символический аппарат быстро развивался благодаря усилиям Виета. Все эти достижения прибрели более или менее стандартную современную форму у Декарта.

Существует несколько причин, почему обозначения сами по себе не следует рассматривать в качестве ключа для объяснения бурного роста математики. Большей частью система обозначений развивалась не усилиями математиков, создающих новые творческие результаты, но разрабатывалась в учебниках, объясняющих коммерческую арифметику, которые быстро распространялись начиная с 1480-х годов [9]. Еще в меньшей степени следует считать ключевым фактором принятие индийско-арабских чисел с позиционной структурой и нулем. На своей родине эти обозначения не были связаны с высшей математикой, когда же они стали известны в Византии, это вообще не привело ни к какому творчеству. Кроме того, они были известны в средневековой Европе в течение столетий до взлета математики в 1500-х годах [Kazhdan, Epstein, 1985, p. 145; Smith, 1951]. Среди интеллектуалов математическая «машинерия», с помощью которой стало автоматизироваться решение уравнений, часто формулировалась без употребления кратких обозначений. Изложение Кардана было вполне описательным, однако он дал общие правила для решения уравнений путем манипулирования и замещения терминов в целях превращения неизвестных выражений в разрешимые формы. Виет больше применял сокращения, чем символы, хотя по-прежнему иногда пользовался словесной аргументацией. Однако он ясно осознавал общность неизвестных величин, различая то, что считается неизвестным, и то, что считается данным. Даже с таким громоздким аппаратом он разработал целый комплекс процедур решения задач через создание новых уравнений для подстановки в старые. В 1650-е годы Паскаль еще формулировал свои теоремы описательным образом, тем не менее он был в курсе новых абстрактных операций и дал первое ясное объяснение метода математической индукции [Boyer, 1985, p. 335, 397].

...В 1597 г. Галилей сконструировал и стал делать на продажу «вычислительный компас» – устройство для быстрых расчетов, аналогичное логарифмической линейке. На то, где находился фокус внимания в тот период, указывает следующий факт: Галилей своим изобретением состязался с Буржи, ранее создавшим аналогичное устройство и соперничавшим с Напьером в открытии логарифмов. Еще позже, в 1642 г., мы видим Паскаля, который в самом начале своей карьеры конструировал и продавал механическую счетную машину [Boyer, 1985, p. 338–340, 351, 396].

Революция в алгебре шла по тому же пути, но осуществлялась на более абстрактном уровне. Вначале алгебра состояла в сокращении действий арифметики, в принципах, покрывающих целые классы вычислений. Новые пространства открылись перед ней, когда подобные методы были сформулированы в форме метаправил для решения абстрактных уравнений. Сама сущность алгебры и вообще абстрактной математики заключается в методах решения задач более низкого порядка. Чистая математика становится независимой областью деятельности, когда интеллектуалы сосредоточиваются на разработке алгоритмов независимо от их применения. Взлет абстрактной математики в начале 1500-х годов начался как раз с появлением такого переднего фронта исследований — с открытием группой математиков во главе с Тартальей и Карданом общих методов решения кубических и квадратных уравнений. Ко времени Виета были разработаны способы решения задач гораздо более высокого уровня. В ходе этого процесса другие области математики, такие как тригонометрия и геометрия, использовались в качестве инструментария, что приводило в этих областях, так сказать, к перекрестному опылению. Началось развитие генеалогических линий математических технологий.

Начало математической революции было отмечено ростом интереса к усовершенствованию способов решения задач во всех областях. Подобные же стремления мы видим во многих сферах. Развитие сокращенной нотации в коммерческой арифметике было одним из вариантов, расширение использования тригонометрии в астрономии — другим, поиск общих алгебраических методов решения уравнений — третьим. Только последний из них явным образом вел в сферу чистой математики, но вскоре конкуренция среди математиков стала приводить ко все более тесному контакту между различными областями.

...Ко времени Виета, т.е. к 1580-м годам, уже полным ходом шел процесс совершения математических открытий. При Виете сочетание различных математических областей превратилось в технологию получения открытий: новая высшая алгебра была объединена с геометрическими методами решения задач, новая тригонометрия была преобразована в комплекс алгебраических функций. Новая аналитическая геометрия, построенная на основе алгебры Виетом, Декартом и Ферма, продвинулась дальше традиционных плоских и твердых фигур в более абстрактные области, где линии, квадраты, кубы и фигуры более высокого порядка трактовались как величины в уравнении. «Геометрия» Декарта завершается детальным обзором теории уравнений. К середине 1600?х годов целые области высшей математики возникали как результат объединения более узких дисциплин. Разрабатывались новые методы для алгебраического решения задач, касающихся кривых, особенно если в связи с новыми кривыми поднимались вопросы движения, а также бесконечно малых изменений и их сложения. Из решения данных задач благодаря Галилею, Робервалю, Кавальери и Торричелли возникло первоначальное грубое исчисление бесконечно малых, усовершенствованное в следующем поколении Ньютоном и Лейбницем.

...Такого рода процедура характерна не только для Нового времени, – история математики состоит в построении как раз такого рода технологии манипулирования классами выражений, направленной на высокую воспроизводимость результатов. Можно сказать, что именно это определяет математику: она представляет собой накопление практики и усовершенствование операций счета и измерения, развивающееся в более высокие обобщения классов таких операций. Эти умения всегда воплощались в некой технологии, обычно только подразумеваемой и недостаточно мобильной для того, чтобы быть широко воспроизводимой, при том что последнее является социальной основой достоверности. Именно взлет в манипуляции машинерией математики составил сущность европейской математической революции.

То, что обычно называется научной революцией, фактически было тремя перекрывающимися перестройками интеллектуального поля. Революция в математике и в естественных науках заключалась в их превращении в быстро продвигающиеся линии исследовательского фронта и по сути своей была открытием самой техники совершения открытий. Слово «революция» здесь употребляется отчасти в метафорическом смысле, поскольку ускорение процесса совершения открытий осуществлялось на протяжении периода от четырех до шести поколений. В действительности только ближе к концу данного периода — в середине 1600?х годов, в поколении Декарта, Мерсенна и Бойля, интеллектуальный мир решительно убедился в существовании новой основы для получения знаний. Именно это осознание привело к тому, что мы можем назвать философской революцией, — к использованию философии в новых целях, что и дало Декарту репутацию основателя философии Нового времени.

Взлет философского творчества, начавшийся в этот период, не был революцией в том же самом смысле, что математическая и естественно-научная революции. Философия оставалась философией, иначе говоря, она по-прежнему структурировалась посредством линий непримиримого соперничества и не обретала быстро продвигающегося фронта исследований, что отличало бы ее от предшествующей философии. Однако философские сети являются решающим фактором математической и естественно-научной революций. Философская революция не только поставила печать своего одобрения на двух других уже состоявшихся революциях, придавая им общую мировую значимость. Помимо этого с самого начала все три сети были переплетены между собой; без их взаимосвязи не могло бы осуществиться то ускоренное совершение открытий, которое и составило математическую и естественно-научную революции.

Р.Коллинз «Социология философий: Глобальная теория интеллектуального изменения» (Collins R. Sociology of philosophies. A global theory of intellectual change. 1998
Tags: books6, science4
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 30 comments