Иванов-Петров Александр (ivanov_petrov) wrote,
Иванов-Петров Александр
ivanov_petrov

Материальная математика

"Согласно хорошо знакомой аргументации, математизация мировоззрения привела к созданию науки Нового времени. Трудность состоит в том, что традиционное математическое естествознание, например астрономия у греков, китайцев или индусов, не обладает свойствами достижения консенсуса и получения быстрых открытий, являющимися центральными для науки Нового времени. Самой по себе математики недостаточно для появления науки, в которой достигается консенсус и которая быстро продвигается, – это обеспечивает только некий особый вид математики.

Какого же типа может быть эта математика? Математическая революция разворачивается тогда, когда сама математика становится исследовательской технологией. Иначе говоря, технология является набором воплощенных практик, обеспечивающих достоверные и проверяемые результаты. Такие способы деятельности (математические “техники”), хотя они и не предполагают применения сложных физических приборов, тем не менее, вполне материальны, – они состоят из методов написания уравнений на восковой дощечке или бумаге, а также, возможно, перестановки палочек на счетной доске, что соответствует процедурам передвижения символов из одного места в другое вплоть до получения определенных результатов. Вопреки платонистским идеологиям, математика не существует исключительно в разуме, а представляет собой набор практик, развитых благодаря поколениям переделок и усовершенствований, причем неотъемлемой частью этих практик является физическое “оборудование”, с которым они взаимосвязаны. Это не так далеко от нашего неявно подразумеваемого определения машины как материальной целостности, поскольку каждая машина состоит из сочетания физического объекта и умения обращаться с ним. Ряды математических символов на бумаге, выстроенные в линии уравнений и перестраиваемые согласно правилам, представляют собой скорее некую практическую деятельность, чем просто набор абстрактных идей.

Превращение математики в машину по решению задач состояло не только в появлении новой системы обозначений (нотации), хотя символизм действительно появился в период математической революции. Прежде уже были эпизоды введения своего рода алгебры в виде сокращений, или аббревиатур (Диофант – ок. 250 г . н.э., Брахмагупта – ок. 630 г . н.э.), но эти способы не были последовательно развиты и в китайской, греческой и мусульманской математике применялись словесные доказательства с привлечением геометрических чертежей. В мире средневекового христианства математика Фибоначчи (ок. 1200 г .) была риторической. Таковы же были трудные и запутанные доказательства Свайнсхеда-Вычислителя, равно как и попытки математических обобщений у Региомонтануса, осуществлявшиеся в середине 1400-х годов. В начале 1500-х годов
сокращенные формы появлялись в арифметике и алгебре, особенно у “мастеров счета” в торговых германских городах, а символический аппарат быстро развивался благодаря усилиям Виета. Все эти достижения прибрели более или менее стандартную современную форму у Декарта.

Существует несколько причин, почему обозначения сами по себе не следует рассматривать в качестве ключа для объяснения бурного роста математики. Большей частью система обозначений развивалась не усилиями математиков, создающих новые творческие результаты, но разрабатывалась в учебниках, объясняющих коммерческую арифметику, которые быстро распространялись начиная с 1480-х годов [9]. Еще в меньшей степени следует считать ключевым фактором принятие индийскоарабских чисел с позиционной структурой и нулем. На своей родине эти
обозначения не были связаны с высшей математикой, когда же они стали известны в Византии, это вообще не привело ни к какому творчеству . Кроме того, они были известны в средневековой Европе в течение столетий до взлета математики в 1500-х годах [Kazhdan, Epstein, 1985, p. 145; Smith, 1951]. Среди интеллектуалов математическая “машинерия”, с помощью которой стало автоматизироваться решение уравнений, часто формулировалась без употребления кратких обозначений. Изложение Кардана было вполне описательным, однако он дал общие правила для решения уравнений путем манипулирования и замещения терминов в целях превращения неизвестных выражений в разрешимые формы. Виет больше применял сокращения, чем символы, хотя по-прежнему иногда пользовался словесной аргументацией. Однако он ясно осознавал общность неизвестных величин, различая то, что считается неизвестным, и то, что считается данным. Даже с таким громоздким аппаратом он разработал целый комплекс процедур решения задач через создание новых уравнений для подстановки в старые. В 1650-е годы Паскаль еще формулировал свои теоремы описательным образом, тем не менее он был в курсе новых абстрактных операций и дал первое ясное объяснение метода математической индукции [Boyer, 1985, p. 335, 397].

Для математических открытий более значимым было стремление найти механизмы усовершенствования [естественно-]научных расчетов.

...Начало математической революции было отмечено ростом интереса к усовершенствованию способов решения задач во всех областях. Подобные же стремления мы видим во многих сферах. Развитие сокращенной нотации в коммерческой арифметике было одним из вариантов, расширение использования тригонометрии в астрономии – другим, поиск общих алгебраических методов решения уравнений – третьим. Только последний из них явным образом вел в сферу чистой математики, но вскоре конкуренция среди математиков стала приводить ко все более тесному контакту между различными областями.

...Декарт был воинственным защитником нового алгебраического подхода, он освобождал последние из областей математики, остававшихся неосвобожденными от гуманистического возрождения классики, и превращал их в технику быстрого решения задач (a rapid problem-solving technique).

...В период между Виетом и Декартом математика была преобразована в машинерию манипулирования уравнениями. Отчасти эта трансформация была отмечена переходом от словесной аргументации через сокращения к изобретению символов, обозначающих данные, неизвестные и операции. Решающим шагом было установление системы уравнений с явными правилами подстановки и сочетания членов. Следуя этим правилам манипулирования, можно было достичь таких же преимуществ, как и при использовании новейшего исследовательского оборудования в естествознании. В ходе переделок математической машинерии могли открыться новые области применения и появиться новые результаты. Это превращало математику в перемещающийся передний фронт исследований. Таким образом, совершенствование процедур манипулирования уравнениями (что эквивалентно переделке механизма, пока он не начнет давать надежные результаты) влечет за собой абсолютную достоверность результатов, поскольку результаты теперь абсолютно воспроизводимы."

Р. Коллинз. Наука быстрых открытий http://www.philosophy.nsc.ru/journals/philscience/13_02/kollins.pdf

-------------------------
Интересно, что за фигура получается. Есть линия рационального развития математических идей. Здесь даются косвенные доводы, что она в одиночку не смогла бы породить наличных следствий. И имеется линия "техники", зависящей от практики, как тут говорят, а на деле - от мировоззрения, чего Коллинз не говорит. Сама по себе практика тоже не дает "такого" результата - достаточно немного подумать и попытаться перевести доводы Коллинза против чисто-идеальной математики на чисто-счетную. Это не практика как таковая "требует" и получает - это практика, деятельность с определенным настроением ума, с определенным видением мира - приводит к таким-то следствиям. Истории о забытых луке и стрелах, неоткрытом колесе или паровой машине достаточно ясные - нету никаких потребностей у практики и никаких следствий, если не добавить определенный взгляд на мир, умонастрение, мировоззрение. Назовем это "философией", а можеи и не называть, чтобы не путать с некоторой болтологией. Тогда здесь описывается взаимодействий архетипа и стиля, некоторого идейного содержания (математических идей) и определенной стилистики, в которой эти идеи понимаются, воспринимаются, используются.

Между прочим, тогда вырисовывается замечательная параллель развитию естествознания, биологии прежде всего. Если вклад Декарта был прежде всего в унификации способа символической записи, который позволил значимым образом облегчить вычисления, то вклад Линнея может быть описан очень похожим образом - унификация языка описания и номенклатуры, что позволило резко расширить вмещаемое познавательными средствами разнообразие.
Tags: science4
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 14 comments